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概率为0的事为什么仍可能发生

2017-3-26

记得学概率论的时候做过这样一道判断正误题,

事件发生的概率为0意味着事件不可能发生。[X]

当时还以为是答案错了。直到了解测度论后,才心服口服,答案并没有错。

解释如下,

m个小球里中有n个红色的,从中任取一,取到的小球是红色的概率是多少?提到概率,我们多半就会想到这种情形,即“古典概型”。

另一个问题,在一条线段上任取一点,问它在前半段上的概率多大?这线段上一共无穷多个点,前半段也是无穷多个点,无穷除以无穷无法计算,这种情况下,再使用古典概型就行不通了。此时,需要另一种计算方法,即“几何概型”。

在几何概型中,每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度(面积、体积或角度)成比例。由此易得,上面问题的答案是1/2。

好,激动人心的问题来了,0到1的线段上任取一点,取到0.3的概率是多少?

由几何概型,点的长度是0,因此概率为0。

但是,这个点确确实实有可能取到啊!

是的,它是可能事件,但它发生的概率为0。

试想它的概率不是0,而是一个特别特别特别特别特别小的正数。但是0到1之间还有无穷多个和它一样平凡,但又不甘心永远无法被人类选中的数,如0.1, 0.5, 0.32, 0.3312, 0.79893821…等等等等,每个数被选中的概率都该一样吧。所以把这些概率都加起来,肯定超过总概率1。

所以这个值只能是0。

但你仍然心存疑虑,这个逻辑只是推翻了它大于0吧,但是它是0这事儿真是这太反常了!倘若每一个点概率都是0,那么你这0到1上即使无穷多个点,全部加起来,不也该等于0了?那不就是你在说,在一条线段上取任一个点,取到的点在这条线段上的概率是0吗?那还得了?!

这就牵涉到那个一直以来困扰哲学家的那个问题——

长度为0的点是怎样组成了有长度的线段?

0是怎样加怎样加突然就不是0了?要解释这个问题。还得从加法说起。

加法是需要定义的。

我们先定义的是两个数的加法。三个数的时候,我们把前两个数先加起来,再把加最后那个……这样,n个数的时候,是从头到尾一个一个加起来。这就是加法。但是注意,我们仅仅只知道有限个数应该怎么“加起来”。

当有无限个数的时候,我们把这些数编个号,1、2、3、4、…我们按着顺序加起来吧,随着不断加,这个值在不断变化,如果这个值无限地趋近于一个数,那么我们就把趋近的值叫做这无限个数的“和”。

好吧。我们把这一系列0加起来,一个加一个,是0,再加一个,还是0,…极限也是0,并没有任何不同啊。

但是,你有没有发现,对于无限个数,我们所定义的加法,必须是让这一列数能够编号!它们能排个队,一个接一个,源源不断。对于任何一个数,都有属于它的位置,都有轮上它的一天。

如果这些数太多了,太多了,多到无法让每一个数排成一队,无论你怎么安排,都发现有的数到死都轮不到。如果这样,你是无法对它们做加法的。毕竟,怎么加,有的数都没有被加进来。

0到1中的“实数”,就是这样永远也加不完的一群数。让0到1上所有的实数都有对应编号是无法做到的。因此,这些数是不!可!能!被加起来的——因为我们不知道先加谁、后加谁,不管怎么加,都会有些数没有被加进去。

把无穷多个数“加起来”,这句话不能随随便便说,我们必须让这个无穷能编个号才行。长度为0的点是如何加成了有长度的线段,这种一直困扰哲学家的问题,其实在测度论中,早就被解决了。

简单的说,线段的长度是它本来就有的,而不是一个一个点累加起来得到的。

用再多的点,都无法组成再短的任何一条线段。

用再多的线段,都无法组成再小的一个正方形。

用再多的正方形,都无法组成再小的一个正方体。

高维度物体里有无穷多的低维度物体。但用无穷多的低维度物体来“搭积木”,却永远得不到高维度物体。

因为我们不知道先拿那一块,后拿哪一块。也不知道哪一块要什么时候才能用到。

维度是无法跨越的鸿沟。

高维度里的物体,是因为它们从存在开始,就已经是高维物体了。

类似的问题是,古希腊哲学家芝诺提出的飞矢不动悖论

芝诺问他的学生 “一支射出的箭是动的还是不动的?”

“那还用说,当然是动的。”

“确实是这样,在每个人的眼里它都是动的。可是,这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗?”

“有的,老师。”

“在这一瞬间里,它占据的空间和它的体积一样吗?”

“有确定的位置,又占据着和自身体积一样大小的空间。”

“那么,在这一瞬间里,这支箭是动的,还是不动的?”

“不动的,老师”

“这一瞬间是不动的,那么其他瞬间呢?”

“也是不动的,老师”

“所以,射出去的箭是不动的?”

我们可以回答这个悖论了,因为时间也是这样一个维度。

总结一下,概率为0的事仍有可能发生,因为几何概型就是这么定义的。点的长度为0,线段的面积为0,正方形的厚度为0,并不代表它们不存在。

当哲学家们讨论把无穷个0加起来的时候,他们还以为自己是在谈论一件普通不过的事吧。