我所理解的数学

March 31, 2014

美国教授R·柯朗和H·罗宾曾经合写过一本书《什么是数学》,里面囊括了对数学各个分支的浅显介绍。但在这篇文章,我们并不关注数学的研究对象和基本方法,而是想关注和数学打交道的人,例如数学为什么难学?为什么有的人觉得数学简单?买菜用不到微积分,数学有用吗?为什么有的人会喜欢而有的人极度讨厌?数学只是一种工具吗?数学教育应该如何改革?

数学难吗?

我想,对于这个世界上99%的人来说,都会说难。极少有人会觉得这是一个简单的学科,因为无论什么层次的学习者,都可以遇到更高的难度,先前引以为豪的理解力已经无能为力。一个人吹嘘数学简单,很可能是这样一种情况:智力程度足够应对所学的难度,但又没有特殊的兴趣钻研,这样他便不必遇上智力捉襟见肘的窘境。 数学学习的一般过程是这样的:

是怎样的?(定义、定理)    ↓ 可以用来做什么?(题例、应用)    ↓ 为什么是这样的?(证明)    ↓ 最开始是谁想到要这样的?(直觉、本质)

“你懂了吗?”同样说懂了的两人,实际却大大不同——这是因为其对“懂”的要求不同。一个人或许以明白定义、做题能正确用公式为标准来定义“懂了”,也有人直到找到直觉和本质的东西才认为自己是“懂了”。

十八世纪始,数学开启了形式化、逻辑化的进程,直观而形象的体验在数学教育中逐渐丧失——可以说这是一个错误的道路。数学大厦的建立,一砖一瓦要用逻辑来严格搭建,但却需要用直觉来规划和设计。相信很多人看数学证明的时候都有这样一种感觉:每一步想想都是对的,但连在一起就不知道在干什么了,这些东西是怎样一步一步想出来就更无法想象了。这就是缺失了直觉的数学,犹如黑夜在森林里找寻出路,虽然能看清脚下是什么,但却不知道出去的路在哪里。线性代数是一个能够区分这种学习层次的学科,记住定理定义并套用公式是很简单的,但看懂证明就不容易了,而找到本质则是一个更加艰难的过程。这门课考到高分,只需记忆结论、套用公式就够了,但是要找到直觉,把它看成一个自然的东西,却毫不容易。

中学里不少人都坚持着完全错误的学习方式,即把数学当作语言学(文字笔记、背诵结论),把语言当作数学学(推理、逻辑分析),就好比用锤子扭螺丝,用螺丝刀钉钉子。要知道,数学不是知识,而是思维。当体会到本质、拥有直觉时,数学就不是一系列需要记忆的知识,而是一种自然的东西。所有的结论都是理所应当,无需记忆(即把书读薄)。好吧,那么既然体会本质和直觉如此重要,那么直接教这些东西不久完了吗?其一,数学严格化大背景下,难以有直觉化、直观化数学教育的生存空间;其二,难以将其表达成语言。本质是难以用外化的语言表达出来,它是一种“只能意会不能言传”的东西。(虽然很难,但在这个博客里我想做一些这样的工作) 所以,有的人觉得数学简单,是因为他们能很快地找到这些问题的本质,拥有直觉、并从直观的角度来认识。这可以解释成是一种天赋(这世界就是这样,不同的人具有不同类型和不同程度的天赋)。但其实我更愿意解释为是源于爱好——从思维中得到了乐趣,便不断思考以至在这个领域熟练(所获的快乐大于受的不适,便拥有了不断的动力以保持爱好)。

数学有什么用?

在我们这个实用主义的社会中——不,不仅仅是我们这个社会,大概在所有的时代、所有的社会中,实用主义永远都是大流吧。不妨来定义何为“有用”。首先,大部分人都认同的是,财富有用,能转换成财富的技能也有用。那么我们会发现,一些不能或者很难转换成财富的爱好,是无用的。想到这里,你就会抗议,我们的生活并不能被“有用”所主宰,我们还需要一些看起来“无用”的乐趣。乐趣才是最终的目标,难道财富最终不是为了乐趣吗?那么绕过财富直接享受乐趣不更方便?“无用”的、不能转换为财富的乐趣——我相信对于大多数人而言,都有一些。

罗素说,参差多态乃幸福本源。这个世界的丰富之处就在于,人们各有各的乐趣。这可以解释为基因差异和早期教育的偏差。为什么有的人会喜欢数学呢?现在假设是在向一个非爱好者讲诉爱好者的乐趣,但人们彼此间难以理解他人之乐。因这并不是以“理”服人,而是在讲诉一个关于切身体验的东西,每个人所体会到的世界毕竟不同。黑客不会因为粉丝的激动泪水就开始追星,非数学爱好者也不会因为这一段文字就对数学着了迷。我们难以体会到别人的快乐。讲讲他人的世界,只是让我们明白有世界上还有不同的生命,过着不同的生活,我们的小天地并不是世界的中心。

数学爱好者何以喜欢数学?

王小波曾言,这世界最痛苦莫过于被剥夺了思维的乐趣。吃穿住行的贫乏尚且能够忍受,思想的贫乏才真如堕地狱。对于数学爱好者而言,思维的快乐正是这人生不可剥夺的乐趣之一。怪异反常的结论让人惊讶,简洁而深刻的东西让人陶醉,冥思苦想后的顿悟乃是人间至乐。我们相信这世界上有这样一种东西,它能够跨越种族、文化、甚至地球文明的界限,它能够超越时间而历久弥新。

它简洁、美妙而永恒。

那么有人要问,既然数学有爱好者来喜欢,那么就让他们来玩好了,为何要把数学教育强加在每一个人头上?首先我们要知道什么是教育。简单来说,义务教育教给算术、认字等基本技能,而在这之后,教育的目的,则是选取其中一部分人来从事更为复杂的工作。世界各国都无一例外地从小学开始进行数学教育,是因为算术是文明社会中生存的一项基本技能。在这之后,仍然进行数学教育,则是因为人类文明发展至今日,大部分学科皆受数学恩泽,大部分复杂的工作都不可避免地与数学发生联系。所以,数学是有用的——它确实能转换成财富,无论是对个人还是对社会。买菜用不到微积分,但人并不只做买菜一件事。诚然,确实有一些职业,如艺术和文学创作等几乎与数学无关,但社会对这类职业的需求量毕竟较少。所以为了社会整体考虑,进行数学教育仍是必要的。但不可否认,数学教育确实存在着很多的问题。要改革,第一要加一些形象化、直觉化的东西,虽然这看起来会不那么严谨;其次要在介绍定理时顺带讲讲它的发展史,让人知道今人感觉难的东西古人也感觉难,数学家们也是花费了大力气、走了许多弯路才得到的。

数学只是一种工具吗?

我想,对不同的人来说有不同的答案。文字只是一项工具吗?的确,它可以用来记录和交流,对很多人来说就只是一种工具罢了。但在文学爱好者看来,文字可以用来写诗、作词、填曲、做对子、抒情、说理、讲故事……那是一个有着无尽美妙的世界,每一个字、每一个词都是有着灵魂的,把它仅仅当成工具未免有些暴殄天物。数学亦如是,它可以是工具,但又不仅仅是工具。

这就是我所理解的数学。