一枚硬币的概率题

March 04, 2018

A和B打赌,但是只有一枚质地不均匀的硬币。请问能用这枚硬币来实现 1/21/2 的概率吗?如果能,怎么做?

解答:

能。方法是把这枚硬币抛两次。

假如正面概率为 pp,反面为 1p1-p。那么抛两次

(第一次,第二次) 概率 结果
(正,正) p2p^2 重新开始
(正,反) p(1p)p\cdot (1-p) A胜
(反,正) (1p)p(1-p)\cdot p B胜
(反,反) (1p)2(1-p)^2 重新开始

当出现(正,反)的时候 A 胜,(反,正)的时候 B 胜,这两种情况出现的概率相同。如果出现两次都为正或者反的情况,那么重新开始,在新的抛两次硬币结果中,A 和 B 胜的概率仍然相同。

这样直到出现能定胜负的结果。最终 A 和 B 胜的概率,都是 12\frac{1}{2} .

题目继续:

一次活动中,要从一群人里抽出一个获得大奖。但只有一枚硬币。能用这枚硬币来实现 1n\frac{1}{n} 的概率吗?如果能,怎么做?

解答:

能。

首先我们把这nn个人分别编号:1,2,3,4,5....n1 , 2 , 3 , 4 , 5 .... n

假设硬币是均匀的,我们抛 xx 次。得到 2x2^x 种结果。

(1st, 2nd, 3rd, …. xth) 概率 结果
(正,正,正,…,正) (12)x(\frac{1}{2})^x 1号胜
(正,正,正,…,反) (12)x(\frac{1}{2})^x 2号胜
...
(反,反,反,…,反) (12)x(\frac{1}{2})^x 重新开始

将这 2x2^x 种结果中的 nn 种和这 nn 个人一一对应起来,多余的结果则重新开始。(注意选择抛硬币次数的时候要让结果总数大于总人数,2xn2^x \ge n。)

如果硬币不均匀也好办,每次抛硬币的时候,把第一题中的方法当作“子任务”来获得 12\frac{1}{2} 的概率。

另外,如果想要抽多个人,只需把上面的方法当作子任务:

先从 nn 个人里抽出一个人,重新编号,再从 n1n-1 个人里抽出一个人,再次重新编号,从 n2n-2 个里抽出一个...

后记

实际上,通过一枚不均匀的硬币,我们可以“制造”出具有任意有理数概率 pp 的事件。

p=mnp=\frac{m}{n} ,根据题二的方法抛 x=log2nx=\log_2{\lceil n \rceil} 次。结果中前 mm 种情况下作为该事件发生,nmn-m 种情况为该事件不发生,其他的 2xn2^x-n 种其余情况重头再来即可。