证明数学归纳法?

January 29, 2019

如何证明数学归纳法?

其实是无法证明的,它是构建自然数的 Peano 公理的五个之一。

数学归纳原理

P(n)P(n) 是关于自然数的一个性质。假设 P(0)P(0) 是真的,并假设只要 P(n)P(n) 是真的,则 P(n++)P(n++) 也是真的。那么对于每个自然数 nnP(n)P(n) 都是真的。

即一个自然数集 N\mathbb{N} 要满足使以下命题为真:

P.((P(0)(P(n)P(n++)))nN.P(n))\forall P.((P(0) \wedge (P(n) \Rightarrow P(n++))) \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}.P(n))

我们使用数学归纳法证明正是把 PP 替换为一个特殊命题的过程。